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世界の旅日記や 文化、歴史のぷち・エッセイを書いています。他にも海外、国内のお気に入りのドラマのあらすじ&感想を勝手気ままに綴っています。

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ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学

ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学


前日記で惑星音階とピタゴラス、バッハ音階について反響があったので、
あらためてピタゴラスの記事を載せてみることにしました。


ピタゴラス
ピタゴラス 【Pythagoras】 前570ころ~前496ころ



「弦の響きには幾何学があり、天空の配置には音楽がある」

有名なピタゴラスの言葉。

紀元前の数学者、ピタゴラスの名前は、中学生以上の人には「ピタゴラスの定理」と呼ばれる「3平方の定理」でよくご存知でしょう。

しかし、ピタゴラスに音楽での業績があることを知らない人の方が多いと思われます。
音楽と数学はきっても切り離せない関係にあるのは、音楽家、数学家でなくともよく知られていることですが。

私は数学は苦手なのですが、 数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人だと信じてきました。
昔からそう言われているし、自分でも心底そう実感することしきりなのです。特にバッハの幾何学的音列なんか数学そのものです。

ピタゴラスは、弦楽が好きな人で、当時の手風立琴をヒントに、2つの音の周波数比が簡単な整数の比になるとき、音が協和することを発見しました。

この日記でピタゴラスの音律と狼音に関する協和性を数学的に解き明かしていたらページが幾つあっても足りないのでここでは省きますが、簡単に言うとその調和とはドとソの関係で、この2つの音は、理想的な完全5度音程です。ヴァイオリンやヴィオラ、チェロ、コントラバスも皆そうなっていますね。弦の長さの比を単に整数比で表しただけですから当然と言えば当然なのですが。(笑)




一枚板のレッドヴァイオリン

Bach:バッハ A-mollコンチェルト BGMにどうぞ♪
http://www.youtube.com/watch?v=wbHVIwSMJrw
David Oistrakh - Bach Violin Concerto in A minor (1st mvt.)


❤美雨もバッハ大好きです。↑↓上のコンチェルトの楽譜❤
美雨楽譜001美雨の懐かしい楽譜002
ほんとに良い曲。 バッハは単に美しいだけでなく、宇宙的


バッハの肉筆楽譜 幾何学のつづら折りみたいなバッハの音楽
数のふしぎ4バッハの肉筆a



数学的にシンプルなものが美しいと感ずるのは音楽に限ったことではありません。

そ  こ  で

ピタゴラスの定理にまつわる話を、ダイジェストして挙げてみました。

 
<ピタゴラスのいろいろな仕事>

ピタゴラスとその弟子たちは「ピタゴラス学派」と呼ばれ、ピタゴラスの発見といわれているもののうち、どれがピタゴラス自身の発見であるのかはわかっていません。ピタゴラスのおもな仕事には、ピタゴラスの定理のほかに次のようのものがあると考えられています。

(1)奇数、偶数の区別
自然数、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…を、奇数と偶数に分類したのはピタゴラスが最初だといわれています。

(2)三角数と四角数の研究 
(3)完全数の研究
完全数とは、自分自身を除く約数の和に等しい自然数のことです。 たとえば、6の約数は1,2、3,6ですが、
6=1+2+3
のように、自分自身を除く約数の和で表せるので、6は完全数です。
28や496が完全数であることを確かめてみましょう。
(4)ピタゴラスの数の研究

ピタゴラスは(3、4、5)のように、 その関係を満たす自然数について研究し、このような数の組は無限にあることを証明しました。このような数の組は、現在ピタゴラスの数と呼ばれています。 ほかにどのようなピタゴラスの数があるか調べてみましょう。

(5)無理数の発見
一辺の長さが1である正方形の一つの対角線の長さ(√2)は、分子、分母がともに整数であるような分数では表すことのできない数であることを発見しました。

(6)三角形の内角の和
三角形の内角の和が2直角であることを証明したのは、ピタゴラスであるといわれています。

(7)正五角形の作図
正五角形の性質を詳しく調べ、黄金比をもとにして正五角形の作図法を発見しました。

(8)正多角形によるしきつめ 合同な正多角形のタイルで平面をすき間なくしきつめるには、どのような正多角形を使えばよいか研究しました。

(9)正多面体の研究
正多面体の研究を行い、正多面体は5つに限ることを発見したといわれています。




ピタゴラスの定理:Pythagorean theorem
数のふしぎ2ピーター・フランクルさん数のふしぎ1
18歳で国際数学オリンピックで金メダルを獲得、ピーター・フランクル数学博士




ちなみに、正多面体は5種類しかありません。

お友達で数学教師のSさんが詳しく解説して下さった記録を ちょっとお披露目すると、

正多面体は、まずは、1辺の長さが等しい正多角形でなければなりません。つまり、正三角形、正方形、正五角形です。

正六角形以上の正多面体はできないんですね。

どうしてか? 正六角形の2辺の角度が120度だから、1つの頂点を中心に三つ辺同士をつけて並べると360度でくっついてしまい立体にできないからです。

あとの説明は長くなるので省きます。

つまり、一つの頂点に三つ以上並べてくっつかないものを探すと5種類しかないことがわかります。

パズルですね。 時間があったらやってみてください。



・・・とのこと。
ということで、是非やってみましょう!!

ちなみに、(9)の正多面体は、プラトンも著作で言及しています。

「プラトン正多面体は5つしか存在しない」を、昔ですが自力で証明したときは、嬉しくて恍惚としました。(笑)
しかし、とてつもなく神秘感の漂う定理ですネ。

数学者の志賀浩二さんも、この定理の神秘感には惚れ惚れしたと語っています。




数の神 pythago
ピタゴラス 【Pythagoras】  100910




ピタゴラスの素晴らしさはそれだけではありません。

ピタゴラスはこの定理を発見したときに、「自分がこの定理を発見できたのは、決して自分一人の力によるのではない。いつも自分を守ってくださるミューズの神様のおかげである。」と言って、お礼の心を表すために、牛100頭を供え、女神に心からお礼を述べたという伝説が残っています。なんと謙虚で敬虔なこころの持ち主でしょう。ちなみに、ミューズとは学問の神、音楽の神であり、music(音楽:ラテン語でmusica)の語源となった女神です。


音楽と切っても切り離せない数の神秘性。即ち、音楽は聴く数学であり、数学は考える音楽であるからかもしれません。

そんな「数」を礼賛した名言をいくつか記してみます。


「数は森羅万象を支配す。」 ピタゴラス
 
「神は幾何学者である。」 プラトン

「神は 数によって万物を創造した。」 ニュートン

「数学は 真実ばかりか 至高の美をも我が物にする。」 ラッセル

「白髪頭になろうとも 数学者の命が果てることはない なぜなら彼らは
 永遠(無限大)に憂身をやつしているからだ。」  詠み人知らず

 

・・・数学者にいわせると、数理というものは芸術に通じるところがあるらしく、「よい証明は美しく、リズムを感じる」ものだそうです。

数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人ですね。
数学を愛している人は皆そう信じていると思います。




美雨



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  • 2018.05/07 16:46分 
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yayoiさま 

再コメ、ありがとうございます。
手作り市のフェスタ、大盛況だったようで、よろしかったです。
前半はお天気にも恵まれ、yayoiさんは、おてんとさまにも好かれてらっしゃるんですね^^
美雨は行楽中一度は雨が降るような・・・(;'∀')

バッハの三楽章、楽しんでいただけたようで嬉しいです^^
アーモールを全楽章通しで聞かれたら、次の作品作りのインスピレーションもわいてきそうですね!

窓さま 

こちらこそ、ご訪問ありがとうございます。
応援とコメントまでいただき、感謝です。
今年のGWは長かったせいか、どこへ出かけても人込みでした。
でも、天気に恵まれ、たのしく過ごしました^^
コメント返しが遅くなり申し訳ありません<(_ _)>

数学は、苦手な女性のほうが多いですよね。
最近は、理系女とか出てきて、工学系にすすむ女子も増えてきたので
時代と共に進化しているのかもしれないですね。^^


> 美雨さん、初めまして。
> 訪問、ポチだけで失礼しました。
>
> ブログ記事に書かれていらした、ピタゴラスのお話しを、
> 深夜にも関わらず、身を乗り出すように、読ませていただきました。
>
> わたしは、算数のころから数学はずっと苦手で。
> 何度が過去記事にも書いたぐらいです。
>
> ほんとうにありがとうございます。
> どうぞよろしくお願いします。

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  • 2018.05/04 15:31分 
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  • 2018.05/04 08:25分 
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  • 2018.05/03 22:42分 
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NoTitle 

モーツァルト ファン・ゴッホ 僕の好きな天才は早死に 残念
  • posted by nobo 
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  • 2018.05/03 18:54分 
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  • 2018.05/03 07:03分 
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  • 2018.05/03 00:12分 
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  • 2018.05/02 00:23分 
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  • 2018.05/01 23:27分 
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NoTitle 

美雨さん、こんばんは。

バッハの三楽章、添付してくださってありがとうございました。
なんと、息子さんもお好きだったのですね!? 本当にびっくりです!! 実は曲の好み、私と息子はよく似ているんですよね^^
美雨さんが言われる事、すぐにわかったようです。一緒に聞いていて、あ、ここの事、と教えてくれました。一音ずつずらせていくところいいですね。私も好きです。 宇宙的、言われてみればそんな気がしてきました。^^

4日間のイベントが終わってホッとしています。でもまた10日余りでまた出店なので、なくなった分の補充などでミシンづけになりそうです。^^
  • posted by yayoi410 
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  • 2018.04/30 23:37分 
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ありがとうございました 

美雨さん、初めまして。
訪問、ポチだけで失礼しました。

ブログ記事に書かれていらした、ピタゴラスのお話しを、
深夜にも関わらず、身を乗り出すように、読ませていただきました。

わたしは、算数のころから数学はずっと苦手で。
何度が過去記事にも書いたぐらいです。

ほんとうにありがとうございます。
どうぞよろしくお願いします。

  • posted by 窓 
  • URL 
  • 2018.04/30 13:15分 
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トイプーラブさま 

こんばんは。
ディーンちゃんもリズちゃんもかわりばんこ手術で大変でしたね。
トイプーさんもお疲れでしょう。
連休は、ゆっくりしてくださいね。

音楽と数学、全く違うようでいて、音楽理論をつきつめると同じところにいきつくようです。(#^^#)

noboさま 

こんばんは。
それは、よかったですね^^

NoTitle 

音楽と数学は通じるものがあるのですね
それぞれの原理が ありますものね
分からないなりに そうかって思う私です(笑)

先日は リズのことでご心配おかけしました
ディーンの方も 無事に手術も終わり
ホッとしています。
有難うございました<(_ _)>
  • posted by トイプーラブ 
  • URL 
  • 2018.04/28 18:00分 
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NoTitle 

学生時代は全く意味不明だった定理 いま勉強すれば少しは理解できる
  • posted by nobo 
  • URL 
  • 2018.04/27 13:33分 
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アンジュママさま 

いつも楽しいコメントありがとうございます。
モーツァルトは弾いていると、そのとおりはずむような楽しさがあふれてきますが、バッハは、なんというか本当に宇宙へつづく螺旋階段にのぼっていってしまうような、音の哲学のような感慨深さがあり、敬虔な気持ちになるのです。まるで対話しているような・・・真剣勝負にならないと弾けません。上手く言えないのですが・・・

> バッハと聞くと☆音楽教室で色んな音楽家の肖像画が並んでる中で、かなり印象的でした(#^.^#)髪型かな(笑)

あはは。本当ですね。ベートーベンはライオンヘアで、バッハのおじさんは羊毛ロールパンを重ねたような摩訶不思議な髪形ですもんね。子供心に、一瞬固まりますよね?あの特有のモフモフヘアは忘れられないですよね。(爆)

バッハに負けない、アンジュちゃんの可愛いお団子ヘア、いつか見れるの楽しみにしていますね!

yayoiさま 

フェスタ近くでお忙しい中、ご訪問とコメントありがとうございます<(_ _)>

バッハ A-mollコンチェルト、本当に聴きやすくて良い曲ですね♪^^
実はこの楽譜、親子2代で使ったものなんです。私の幼いときの字と、大人になってから教えた注意書きの文字とでごちゃまぜですね(笑)息子はこの曲のとき1年生だったので、漢字のフリガナをふってやりました。お見苦しくてすみません。でも、今では宝物です。書き込みだらけですが捨てられませんね(笑)できれば、三代まで使ってくれればもう、思い残すことはありません(笑)さすがに無理かな?神様にそんなささやかなしあわせを願っている美雨です。
でも、びっくりです@@!
男の子ってやはり三楽章好きなんですね!?実は息子も三楽章が一番好きだったんですよ。本当。
私はアダージョ、アンダンテ系のゆったりきれいな二楽章派なのですが、男の子ってアップテンポでリズミカルな曲が好きみたいですね。アレグロ的な?笑
三楽章は、アルペジオのあとの3頁目、Gから主題に戻る前の一音ずつずらしていく12小節ある重音のバリエーション部がいかにもバッハ的で大好きです。音の階段のつづら折りのようで、とても宇宙的だと思いませんか。数学的でもありますね。^^
話せば、息子さん、きっとわかってくださると思います。

yayoiさんにプレゼント
三楽章ですhttps://www.youtube.com/watch?v=irdZQrDQPNw
  • posted by MIUMIU 美雨 
  • URL 
  • 2018.04/26 01:32分 
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鍵コメAさま 

鍵コメAさま
了解です。
このまま鍵にしておきますね^^
ご報告ありがとうございます。どうぞお大事に。<(_ _)>

ショーンさま 

こちらこそ、いつも優しいお心遣いありがとうございます<(_ _)>
本当に、ショーンさん、今年はご本人以外(ご本犬?)でも病院の当たり年?でしたね(+o+)
でも、きっとそうして大難を小難に、小難を無難に替えてらっしゃる気がします。
病気知らずの人より、何かしら病名があって通院している人ほど長生きできるそうですから。笑

> 冒頭、理系の私と書きましたが、実は文系です
> 道を誤ったのだと思っています

あはは。そういえば、文系っぽくて実は理系の人っていますよね(うちの相方もそうですが^^:)
環境に適合しちゃうってすごいことだと思います。ピタゴラスも本来は文系(?音楽系)だったのかもしれないですね。^
  • posted by MIUMIU 美雨 
  • URL 
  • 2018.04/26 01:26分 
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  • 2018.04/25 23:48分 
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NoTitle 

バッハの音楽は数学的な感じなのですね☆
数学と音楽は通ずるものがあるのですね(^o^)丿
音楽は聴く数学、数学は考える音楽☆なるほど~です(#^.^#)
バッハと聞くと☆音楽教室で色んな音楽家の肖像画が並んでる中で、かなり印象的でした(#^.^#)髪型かな(笑)

優しすぎるお言葉♡有難うございました(#^.^#)
華麗なる一族、以前ドラマでよく見てました(笑)
うちは全くの庶民です~(笑)
アンジュのお団子ヘアー♡そのうち登場するかと思います~(*^_^*)
そうですね、プードルはヘアアレンジが楽しめますよね♪
チワワちゃんは被り物が絶対的に似合いますよね(^o^)丿
  • posted by アンジュまま 
  • URL 
  • 2018.04/25 22:10分 
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  • 2018.04/25 22:06分 
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NoTitle 

美雨さん、こんにちは♪

音楽とピタゴラス、そんな事思ってもみませんでしたけど、関係があったのですね。
私は数学は苦手なので、ピタゴラスさんの事は難しいですが、バッハ A-mollコンチェルト、聴きやすくて良い曲ですね♪
バッハと言えばパッと少し重い宗教音楽を連想しますが、みんながみんなそうではないですよね。有名なG線上のアリアも綺麗な曲ですし。
息子にこのBGMを聞かせたら、これのハープシコード版も少し調が変わってええよ〜 第三楽章も入り組んていて好き〜 ですって。私にはどういう事かよくわからないので、また聞かせてもらいます(笑)
すごい書き込みの楽譜!! 美雨さんのですね。これだけ弾き込んだという証拠!!
今日も少し私の知識が増えました^^
  • posted by yayoi410 
  • URL 
  • 2018.04/25 17:43分 
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  • 2018.04/25 12:39分 
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NoTitle 

ショーンです
昨日はコメ返できなくてごめんなさい
ちょっとあちこち通院が重なってて・・
あっ本人元気ですので♪
今回はピタゴラスですか、理系の私としては
ピタゴラスの定理の数学者という側面しか存じませんが・・
音楽と数学はきっても切り離せない関係にある
そう指摘されて思い出すことがありました
同窓生で某電機メーカに入社後、研究所で電子ピアノの
開発にあたり、音をフーリエ展開して合成音を作成するという
発明をしておりました
冒頭、理系の私と書きましたが、実は文系です
道を誤ったのだと思っています

  • posted by ショーン 
  • URL 
  • 2018.04/25 11:07分 
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MIUMIU 美雨

Author:MIUMIU 美雨
旅、歴史、長編ドラマ(短編も)のレビューやエッセイを書いています。
文化系の記事が多いですが、歴史ドラマ(大河ドラマ:八重の桜)や、韓ドラレビューも書きます。中でもソン・イルグクさんの作品が大好きです。
更新はマイペースで続けていきますのでどうぞよろしくお願い致します。

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